小学数学思想方法教学初探

[摘要]：小学数学教材本身蕴涵着丰富的数学思想、方法。在教学中教师可有意识地向学生渗透：通过知识，感知数学思想、方法；分析思考过程，理解数学思想、方法；交流中感悟，掌握数学思想、方法；独立解题，运用数学思想、方法；编题创造，驾驭数学思想、方法；综合解题，活用数学思想、方法；举一反三，形成技能。

[关键词]：小学数学  渗透  数学思想、方法

在小学数学教学的各个环节中渗透数学思想、方法不仅具有提高教学效果的近期功效，而且具有优化学生的知识结构，进而全面提高学生数学素质的远期功效，这已经成为共识。然而，对小学数学教材本身所蕴涵的数学思想、方法进行挖掘与提炼，并在数学解题中加以运用和完善，这方面还需要进行探索与研究。本文仅就在小学数学教学中渗透数学思想、方法的初步探索进行论述。

徐治利教授在《数学方法论选讲》一书中指出：“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中发现、发明与创新等法则的一门学问。”数学思想、数学方法是数学方法论的研究内容。

数学思想是人们进行数学思维的结果，是对客观事物的数量关系与空间形式的本质认识，是对数学研究方法的高度抽象与概括，是指导数学研究的策略与准则。而数学方法是“把事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，进行推导、演算和分析。以形成对问题的解释、判断和预言”，是提出、分析、处理和解决问题的策略、法则和步骤。

数学思想：符号思想，集合思想，对应思想，化归思想。

数学方法：

（1）    思维方法：分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎

（2）      一般方法：观察、实验、比较、分类、联想、类比、化归、猜想

（3）      数学特点较强的方法：函数法、数学模型法、数形结合法、统计法、变换法、分析法、综合法

数学技能：换元法、代入法、系数比较法、合并同类项法、因式分解法、判别式法、配方法、加减消元法、代入消元法、待定系数法、恒等变形法、公式法、构造法、通分母、去括号

在小学数学教学中渗透的数学思想和方法，是以数学方法为主，一般称为数学思想方法，包括思维方法与数学技能。

数学知识与数学思想、方法是相互联系、相互依存、相互交融的统一体。数学知识是数学思想方法的“载体”。要学习和掌握数学知识必然涉及数学思想方法的学习和训练；掌握了数学思想方法又促进了数学知识的学习和掌握。所以，数学思想方法的渗透应与数学知识的教学和训练是同步进行的。

如函数思想，在近代数学中，函数的定义建立在集合基础上，它把变量与变量之间的函数关系，归纳为两集合中元素间的对应。因此，在我们的课本中也出现图1的形式：

（图1）                 （图2）

学生要做上面的题目练习，怎样设计才有不同的效果。如果有了函数思想，可以先让学生计算，计算后核对答案，接着重点要让学生观察，在所填的答案中有什么规律？答案变化是怎么引起的？在什么情况下它的变化是有规律的？然后可以再出示两道题目如图2。

    进行对比，让学生体会“当一个数变化，另一个数不变，其得数变化是有规律的”。当然，这些结论性话语不需告诉学生，更不需要去背，只要学生有一种体会即可，因为要形成一个思想，需要漫长时间的熏陶，在以后的教材中，类似安排还将反复出现。关键在于教师要有数学思想方法来指导教学设计的意识，并用好各种练习。长期坚持，学生自然而然地形成函数的思想。

    解数学题，需要有一定的思路和方法，而思路和方法的背后是数学思想方法，正如爱因斯坦所说：“在一切方法的背后，如果没有一种生气勃勃的精神，它们到头来，不过是笨拙的工具。”这里的精神就是思想、方法的本质认识。其实，策略方法产生于解决数学问题的思路过程中，产生于解剖问题的结构中，并与自己头脑中的认知结构相对应的过程中，是经验估计与逻辑分析的结合，对问题结构作出判断，对策略方法进行挑选、演变的思维活动，数学思想方法决定着这种活动的发展方向。

例如“绝对值小于5的整数有（　）个。 ”学生做这道题的错误率竟达56％。这些学生为什么做错？经询问他们想当然的认为绝对值小于5的整数就是5个。而询问做对的学生运用什么方法做，他们中的大部分是将文字题目转化成数轴，然后在数轴上找一一对应的点。在这些学生的回答中反映出两个数学思想：首先是数形结合思想，把文字转化成图，这个转化就使抽象的文字变化成直观形象的数轴，这就便于分析；其次是对应思想，在数轴上找对应点，从对应点中找出有几个整数。显然，有了数学思想方法，他们的解题思路就有方向，不需要死记硬背就能解决问题。即使以后碰到难题，也会在数学思想方法的支配下一步一步寻求解决。

教学活动是师生之间的多边活动，让每一个学生积极参与教学的过程，才能真正发挥学生的主体作用，使学生在参与中领悟数学思想、方法的真谛，掌握数学思想、方法的应用。

例如：“圆的周长总是它的直径的（   ）倍，是它半径的（   ）倍。圆的直径是它周长的（—），圆的半径是它周长的（—）。”为了让学生从代数的角度理解圆的半径、直径、周长之间的关系，在学生填出答案之后，引导学生深入探究推理过程。

根据题意把文字转化成符号，圆的周长总是它直径的（  ）倍，即问C是d的（ ）倍，可得 =（ ）。由于C=πd，可以用πd代换已知中的C，则有 = =π。

从问题到推理出结果使用了两个数学思想方法：一是符号思想，把文字用字母表示，简洁清晰；二是等量代换思想，由于C=πd，所以用πd代换C，使得分式（在小学范围内）约简，求出结果“π”。

再让学生以小组为单位依此思路将其他问题推理出结果。然后在全班交流推理过程，教师在此时趁热打铁追问：“你用这种推理方法还可以得到哪两种数量的关系？”学生大胆联想半径与直径的关系。

进一步探究：“你认为推导过程中最重要的环节是什么？”学生答：1把文字用字母表示。2用πd代换C，用2πr代换C，用2r代换d 。针对1使学生明确符号可以“简洁、清晰”的反映数量关系。针对2使学生掌握等量代换数学思想方法的实质，即在相等的前提下用不同的形式代换。

学生经过小组讨论，集体交流感悟符号思想的优越性和等量代换在解题中的作用及关键。再经教师有针对性的提问，学生把握住了两种数学思想方法特点。

学生接受知识后，只有在实践练习中举一反三才能掌握。数学思想方法的学习同样遵守这样一个规律，因此，在教学中还要安排需运用数学思想方法解决的练习题，给学生独立实践的机会，达到学以治用。

例如：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。它的实质是将减法转化成加法，通过教师讲解，学生可以理解转化思想在有理数运算中的应用，要使学生掌握并形成计算能力，还需大量的练习。

在练习中学生不仅体会到转化数学思想方法而且攻克了学习难点，即将有理数减法转化为加法时要同时改变两个符号：一个是运算符号由“－”变为“＋”；另一个是减数的性质符号。为学习有理数加减混算分散了难点。

知识掌握的最高境界，是在原有知识的基础上，加以联想构思提出相关的问题，这就是创造。对小学生而言，即使是模仿性的创造，也标志他们学习能力提高。在数学思想方法的学习中，引导学生把握精髓创造新的题目便是学习数学思想方法的高标准。

例如：当学生练习了大量的形如：“若 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的绝对值是2，那么 =    。”和“当a=     时，2a+x=3x+1的解是5。”的习题后，他们把握住解题的关键：整体代入思想，然后饶有兴趣的自己编题：“若a、b互为倒数，c为最小的自然数，d、e互为相反数，且代数式7-2x与5-x的值互为相反数，求 的值。”学生以整体代入思想为核心，不仅会解决问题，而且能提出问题，此时学生达到学习兴奋点。

学生学习数学的主要动力之一，是他们认为所学的知识有用。作为决定一个学生数学素质的高低的最为重要的标志是看他能否用数学的思想方法去解决数学问题。因此教学中给学生独立解决数学问题的机会，让他们灵活的运用数学思想方法。

例如：当学生已经有系统的学习了《代数》第一册中涉及的几种分类讨论的情况后，设计几道综合运用分类思想的数学问题，由学生独立解答。

渗透数学思想方法的教学是长期、系统的。数学思想方法的形成必须经过循序渐进的过程，经过反复的训练，才能使大多数学生真正领会到，逐渐形成技能。

例如：较复杂行程问题是学生学习应用题的一个难点。怎么解决呢？在学生熟练掌握行程问题的一般数量关系并能根据简单的数量关系画图时，从一道情节简单、数量关系清晰的行程问题入手，借助线段图理解题意和数量关系。然后引导学生大胆想象行程问题的情节，依据新的情节重新画线段图，明确新的数量关系，再用数学语言表达出来，就是一道学生自编的应用题，最后让全班学生做一做。不仅提高了学生的积极性，更使学生体验了数形结合思想的正反应用。逐步形成画图解应用题的能力。

    小学数学思想方法教学的研究，不仅是教师的要求、课改的规定，而且是学生发展的需要。教师责无旁贷，在这条宽广的科研之路上研究、探索。