【邱学华小学数学教学漫谈】第七讲：分数四则运算的教学难点及应对策略
常州大学尝试教育科学研究院 / 邱学华
前一讲谈了分数的教材编排和概念教学，这一讲接着谈分数四则运算的教学难点及应对策略。
从四则运算的角度来看，分数四则运算比较困难，因为它的表达形式、运算操作过程，以及说理过程都同整数和小数四则运算不同。
有人会说，分数四则运算只是一种运算，有何困难呢？且慢下这个结论。
马立平著的《小学数学的掌握和教学》一书中引用了一个测试：计算
受测的２１位美国数学教师竟有１２人（占５７％）做错了。他们都是本科生，有的还是硕士研究生。
各种版本的小学数学课本，大都在五年级下学期学分数加减法，六年级上学期学分数乘除法，横跨两个学期。在分数加减法前面，先学分数的基本性质、约分和通分，为学习异分母分数加减法打好基础，在分数乘除法后面，延伸学习分数的混合运算。这部分教学的内容多、概念多，说理要求高，不可能一一论述，我以问答的形式，就几个问题剖析教学难点以及应对策略。
所谓核心概念是指最重要的、经常要运用的、起关键作用的概念。按此标准衡量应该有两个：一是分数单位，二是分数基本性质。这两个核心概念贯穿这部分教材的始终。
异分母分数加减法为什么要先通分？分数乘除法的计算法则如何理解？这些都要用分数单位和分数的基本性质，才能说清楚。因此，在分数四则运算的教学中，教师不能让学生光顾着计算，必须运用分数单位和分数的基本性质的概念来讲清算理。概念先行，才能真正学好计算。
整数和小数四则运算，学生已经学了４年多，达到了“根深蒂固、深入人心”的地步，从心理学的角度来说，已经形成思维定式，会干扰分数四则运算的学习。如学生可能出现下列错误：
一看就知道，学生受整数加减法的影响，把分母、分子分别相加减，学生的思维还没有进入分数计算的范畴，做错第１题的学生还不承认自己做错了，振振有词地辩解道：1/2就是两个人分一块饼，两个人分一块饼加上两个人分一块饼，不就是四个人分两块饼吗？原来这个学生连分数的意义还没有搞清楚，问题出在教师举例不当。
教学时，教师特别要强调分数单位的运用。
分数单位是1/5，4个1/5加3个1/5等于7个1/5。开始时，每一道题都要求学生这样说，不断强化，不能怕麻烦。
为什么分母不变，只要分子相加减呢？有的学生虽然明白了道理，但是心里还是有疑惑。我上过这堂课，问学生还有什么问题，有一个学生说：“道理我明白了，可我总是有点不相信。”为此，我举了一个通俗易懂的例子。
５元＋３元＝８元 写成竖的形式
我说，元是单位名称，要不要写两个元字。学生一下子恍然大悟，连说：“这下，我懂了。”
“比较分数大小”中，学生已经知道异分母分数必须先通分，转化成相同分母的分数才能比较大小。因为分母相同，分数单位就相同，相同分数单位才能比较大小。
这里回想起前一讲中，我曾谈到美国很多初二学生把1/3-1/4都做错了，就是忘了先要通分，才能计算。这里还是要强调分数单位和分数的基本性质。为了让学生明白道理，加深印象，教师可补充以下练习：
５元－３角＝２元，错在单位不同，不能直接减。
５元－０.３元＝４.７元，转化成相同单位才能减。
１２ｍ－８ｃｍ＝４ｍ，错在单位不同，不能直接减。
１２００ｃｍ－８ｃｍ＝１１9２ｃｍ，转化成相同单位才能减。
相同道理，必须先转化成相同单位。
分数乘法的计算法则：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，这个法则同整数计算法则相近，学生容易接受。我上过这堂课，学生自学例题后都会做了，仅用４分钟就搞定了，但要讲清为什么要这样算的道理就比较困难了。教师教学中切忌只用抽象的说理，应该采用直观的图解方法。例如，
根据上面图解，我们可以清楚地看出是由分数乘法的意义（求一个数的几分之几是多少）决定的，分母乘分母表示单位“１”一共平均分成几份，先平均分成５份，再平均分成３份，一共平均分成１５份；分子乘分子表示一共取其中的几份，先取４份，再扩大２倍，一共取８份。
分数乘整数同整数乘法的意义一致。
上面算式是求３个2/5是多少，2/5是２个1/5，乘３就是６个1/5，因此，整数只要乘分数中的分子，无须乘分母。教师教学时用上分数单位这个概念来解释，学生更容易接受。
还有一个办法，是把整数转化成分母是１的分数，这样同分数乘分数统一起来，省去很多麻烦。
四则运算中分数最难，分数四则运算中又是除法最难。所以，分数除法对学生来说是难上加难。中学数理化中分数除法经常会用到，必须让学生认真学好。
过去课本上，分数除法的计算法则表述为：除以一个分数，可将这个分数的分子、分母颠倒位置后，再与被除数相乘。现在新课标的课本中表达为：除以一个数（０除外），就等于乘这个数的倒数。这两个表述，学生都难以理解。怎么明明是除，一会变成乘法了呢？真是眼睛一眨，老母鸡变成鸭了。这同他们头脑中原来的知识储备大相径庭，所以本文开头介绍，分数除法，连美国不少教师都会做错。
怎样向学生解释这个道理，大家想了很多的办法，我也做过数学实验。结果发现：从整数除法和分数乘法的意义来分析效果较好。
例１：有１５本书，平均分成３份，每份是几本？１５÷３＝５（本）。
例２：有１５本书，它的1/3是多少？１５×1/3＝５（本）。
例１是整数除法，例２是分数乘法，可是这两道题的意义和所求的问题却是一样的。他们都是把１５本书平均分成３份，求每一份是多少；它们的结果也一样，可以写成等式：１５÷３＝１５×1/3，１５÷3/1＝１５×1/3。３可看作分母是１的分数，将3/1的分子、分母颠倒位置，就得到1/3。所以，上式说明了，除以一个分数，可将这个分数的分子、分母颠倒位置后，再与被除数相乘。
现在课本中引进倒数的概念，因为３的倒数是1/3，所以１５÷３可转化为乘３的倒数1/3，即１５×1/3。
这个说理过程简单明了，学生容易接受。这里重点要向学生渗透数学转化思想。由于引进了分数，乘法和除法的意义都拓展了，除法和乘法可以在一定条件下互相转化。■
编后语：
一段时间以来，邱学华老师对口算、笔算、四则运算教学中的难点问题进行了梳理与分析，并提出了解决策略，富有实践意义。有意义的互动成就编者、作者、读者之间的良性沟通，我们希望读者在关注本专栏的同时，也能适时反馈教学中的问题，以及阅读这一系列文章的思考和建议。
邱老师邮箱：13776884613@126.com；琅琅邮箱：648761510@qq.com
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