再谈小学生挑战高考数学题

  常州大学尝试教育科学研究院  邱学华

    去年《小学数学教师》（2018年9月）刊登了四川省小学数学特级教师李志军的文章《小学生挑战高考数学题》，后面附了我的一篇文章《有感于小学生挑战高考数学题》，引起了社会各界的关注和兴趣。

今年高考，大家反映数学太难，考得学生都灰溜溜的。有些教师会问，今年是否还有个别题目能让小学生挑战呢？为此，李志军老师继续做这项研究。高考后他搜集了全国及地方的高考数学试卷，找到有15道同小学数学有关联，估计小学生能够运用所学的知识进行挑战，从中再挑选12道题组成挑战测试卷。挑战结果令人振奋，四年级组人均能做对3.3题，六年级组人均能做对6.7题，其中一个六年级学生最多做对了10题。李志军老师根据测试结果，又写成一篇文章《小学生挑战2019年高考数学题》，这篇应是去年文章的续篇。

我们把这项工作，作为了一项教育实验研究。事先商量研究计划，确定研究目的、对象以及测试方法。测试对象是四川省眉山市的校外培训班，其中有补课的，也有培优的。预先都不知情，师生都无法准备，我通过视频可以观察到学生测试的情况。因此，这次测试是比较公正和科学的。

去年文章的重点放在小学生能做高考数学题上，用事实证明 ，小学生经过努力，能够运用小学数学知识解答个别的高考题，小学生不能做高考题的禁区已被打破。今年的文章不必重复去年的论述，重点放在阐明小学生为什么能做个别高考题的原因上，从中分析中小学数学的联系，以便对当前数学教学改革有所启示。

看了李志军老师的文章，我认为有如下几个问题值得引起重视，并可作进一步探讨。

1、学生的潜力是巨大的。

小学生挑战高考数学题看上去是不可能的，可是从连续两年的测试结果表明，学生经过努力，能够做对个别的题目，这充分证明孩子的潜能是巨大的。

最近网上有一种论调，说孩子过度用脑会损伤大脑。这种论调杀伤力很大，成为批判应试教育的有力武器，也成为反对孩子勤学苦练的有力武器。当然也认为让孩子挑战数学高考题会损伤学生的大脑。

这种“挑战有害论”是毫无科学依据的无稽之谈。从脑科学的角度来讲，一个正常人的大脑，有一万亿个脑细胞，其中包括1千亿个活动神经细胞，9千亿个“粘着”、滋润和隔离活动细胞的其他细胞。每个活动细胞又可长出多达2万个树枝状的树突，以传递信息和存储信息。每个细胞就像一台高功率的电脑。（资料来自[新西兰]弋登·德莱顿 [美国]珍妮特·沃斯《学习的革命》，生活·读书·新知三联书店，1998年）。

根据以上资料， 我们想像一下，一个人的大脑该有多大的空间和能量。又据脑科学专家估计，一般来说，一个正常人仅用了这个巨大空间的10%，足见人的发展有巨大的潜力。

俗话说：“脑越用越灵，刀越磨越亮”，是有科学依据的。我们在生活中、学校教学中、科学研究中，大量的事实都证明了这点。最有说服力的事例是中央电视台“挑战不可能”节目，一些孩子的计算能力、记忆能力、识别能力达到惊人的地步，简直令人不敢相信。

中国的基础教育强调面向全体是正确的，也是必须的，但在此基础上还要重视英才教育，培养优秀人才、拔尖人才。在小学数学教学中可以布置一些有趣的思考题让学生挑战。既然是挑战，可以成功，也可不成功，不作教学统一要求。另外，中国地大人多，有沿海发达地区，也有边疆不发达地区，如果都用同一个课程标准并不合理，能否像上个世纪九十年代，增设选用内容，根据各地的条件，可以选，也可不选，增加一点灵活性。

2、培养学生大胆尝试的精神。

怎样从“不可能”变为“可能”，应该解决手段问题。正如毛主席所说，过河先要解决桥或船的问题。我通过60多年的教育实践，深信这个手段就是“尝试”，从“不可能”变为“可能”，必须依靠不断的尝试才能做到，不去尝试怎能知道自己可能不可能呢？

从1980年开始，我搞尝试教学法研究的初心，不仅仅是为了提高学生的成绩，更重要的是看到背后能够培养学生大胆尝试的精神，对于没有学过的知识或不认识的事物，都能有“让我来试一试”的精神。以前我在文章中说过：古往今来无数事实证明，人们探索精神的强弱，是一个国家、一个民族兴旺发达与否的重要标志。

因此，作为一个清醒的教育工作者，目光要看远点，采用什么样的教学方法，不仅仅是为了提高学习成绩，更是关系到人才的培养和国家的兴旺。

李志军老师在1983年中师毕业，并开始运用尝试教学法，已坚持了30多年。开始时，出现主动做高考数学题的学生，就是他教的学生，以后他每年都让学生挑战高考数学题。他教的班都是大班额，不少于80人，从一年级带到六年级，他从不布置家庭作业，学生毕业时数学成绩总是在全市名列前茅。最厉害的，也是家长最欢迎的，该市考取北大清华等名校的大部分学生，小学数学都是他教的。

尝试教学法的优越性，在于培养学生大胆尝试的精神，有效地提高了自学能力。这种方法简单好用，无非让学生自己先试一试，做对了，很高兴，做错了也无所谓，然后再听教师讲，这时教师的讲才有针对性。真正做到：先练后讲，以练为主；先学后教，以学定教。因为是先练后讲，把学生推到了主体地位，调动起了他们的主动性和积极性，所以教学质量显著提高。

3、中小学数学是互相密切联系的。

李志军老师挑选的12道高考题，估计小学生运用所学的数学知识能够解答。如果把试题中的中学数学的名词术语以及数学符号转换成小学数学的表述形式，其实就成了分数运算、比和比例以及简单的数列、概率题。

以前，我曾问过一位数学大伽，小学数学中哪些内容对今后数学最为重要？他回答我说，主要有两方面：一是分数运算，二是数学思考方法。这次小学生挑战高考题的实验事实，证明这位数学大师的看法是对的。

特别要指出，12道题中有4道题（第2、7、9、11题）属于中学的排列组合题，要用中学数学公式计算，但用列举法小学生也能做了。不过在列举法之前，必须对事物进行分类编码。例如：

第2题，八卦排列题。一名小学生非常智慧地先是把阳爻用“1”表示，阴爻用“2”表示，然后再用列举法排列，在排列时还要求有序思考，做到不重复、不遗漏。

第7题，从5名男女同学中选女同学的概率题。在小学数学已经学过可能性，但并没有出现概率名称，也没有学过计算公式。如果改换成小学数学表述形式：“选出的2名同学中至少有1名女同学的情况占所有可能选取情况的几分之几？”这样就转换成分数题，但是前提必须知道两个数据：一是5名男女同学中选2名同学的所有情况，二是2名同学中至少有一名女同学的情况。首先要对男女同学进行编码，有一名小学生也非常智慧地把男同学编码为A、B、C，女同学编码为甲、乙，然后再运用列举法进行有序排列，就找到了正确答案。

第9题，5只兔子分成两类，已测量过某项指标和没有测量过某项指标。思考方法同上。

第11题，2位男同学和2位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是___。这道题的推理的过程同上面几题一样。

原来题目大都是选择题和填充题，为了防止学生猜题或碰运气，李志军老师都改成计算题，并要求在草稿纸上写出推理过程。李老师在文章中附上了部分学生的草稿，以便我们看出学生是怎么思考的。

4、大力提倡教育实验研究。

李志军老师的这项工作，是一种教育调查研究，是教育研究的一种方法。

小学生能不能挑战高考题，如果停留在议论上，或者“打嘴仗”，没有什么意义。找一些学生搞一次测验，答案不就出来了吗？

目前，议论性文章太多，而且各说各的话，各唱各的调，没有争论。现在应该提倡多做教育实验研究，用事实说话，用数据说话。大家要向李志军老师学习，抓住一点“苗头”，坚持做了10多年时间，探究小学生能不能做高考数学题问题，有事实、有办法、有结果。并且从中引出很多教育问题，引发我们去思考。

小学数学教学中有很多争论的问题，都可通过进行实证研究方式取得共识。什么是数学教学中的“中国经验”？加强“双基”同机械训练有什么区别？小学生可以学习哪些数学思考方法？小学生要不要学习概率初步知识？小学生要不要学习旋转、平移、对称等数学概念？小学生要不要学珠算，学到什么程度？怎样理解“熟能生巧”？怎样改革小学数学考试方法？等等。

附：

小学生挑战2019年高考数学题

                          四川省眉山师范附属小学 李志军

2003年我教的一位五年制二年级小学生曾钦同学自发解答当年理科数学高考题获得成功，从此学习兴趣陡增，后来考取清华大学（案例载《人民教育》2011.13-14期）。受此案例启发，以后每年我都选择个别数学高考题让学生试做。2018年战况和我的思考曾以《小学生挑战高考数学题》为题刊载到《小学数学教师》（2018.9期），全国著名教育家、尝试教育理论创立者邱学华先生欣然以《有感于“小学生挑战高考数学题”》为题的文章也同期刊载到该刊物，在全国引起较大反响。

一年一度的2019年高考刚结束，我又迫不及待的搜集各地的高考数学题了，发现全国各地共有15道题目可用小学数学知识解答，于是我立即挑选出其中12道能用小学数学知识和方法解答的题目作为了这次的“小学生挑战2019年高考数学题”的试题。

挑战方法

1、挑战日期：2019年6月15、16日。

2、参与学生：某校外培训班的小学四——六年级学生。

3、事前不预告，测试前先讲我曾经教过的二年级小学生曾钦主动做高考数学题的故事，激发起每个学生“我也想试一试”的强烈挑战欲望；

4、“小学生挑战2019年高考数学题”原题试卷学生到手后，我一次性逐题解释每道高考原题的小学数学表述方式，因为小学生不理解中学数学的名词术语、符号以及表达方式，但不提示解答方法和解题策略。

5、挑战纪律：单人单桌，独立挑战。

6、测试时间：60分钟

7、评卷方式：以草稿为依据，若草稿无理却答卷正确不给分，以避免学生猜答案得分，事实上这比高考评分还严格。

挑战结果

 学生反响

挑战结束后，我立即公布了答案。

学生个个自信心和喜悦之情溢于言表，不少孩子围着我反问：“这就是能够考清华北大的高考题？”，也有纷纷自告奋勇向我请示：“我想上台讲我的分析方法”的。

很多家长用微信告诉我孩子喜悦的心情。

六年级学生余海东家长：“（孩子）回家高兴得很，超级自信，他说能把高考题都能做起，简直不可思议。把题抄下来让我和他爸做，还说要去班级分享”。

六年级学生余奕芃家长：“孩子回家兴奋得不得了，竟然命令我立即放下手中的活，把我当成‘维纳斯’边比划边讲题给我听！”

四年级学生苏墨涵家长：“回来高兴得很，说又做高考题了，感觉还可以，要份凉面奖励”。

三年级学生黄钰锋家长：“这是我做的高考题，爸，你做一下呢！说完啪掏出一张题单，超级骄傲！”。

                     实验启示

启示一：激发孩子的学习兴趣，树立孩子的自信心是一个老生常谈的话题，怎样才能做到真正激发、点燃孩子那台“内燃机”？以我36年的从教经验领悟出最有效、最具震撼力的方法有二：

一是“让我先试一试”。著名教育家、尝试理论创立者邱学华先生那句“请你不要告诉我，让我试一试”指明了天机。

二是“挑战不可能”。既然是“不可能”，高考题就是很好的题材之一，因为高考是众人关注的大事，这种关注度最高的题材被小学生“蚍蜉撼树”式的憾动了一下甚至完全拿下了，在周围人的惊讶目光下，孩子的学习兴趣和自信心不得不达到爆棚境界！所以高考题也是小学数学可利用的资源。

启示二：小学生对高考题的思考方法，以中学老师的眼光看来也许“很笨”“不严密”，但我认为一个人在不同的阶段呈现出不同的思维层次，当今的“云计算”不还是来自人类起源时的“数石头”，关键是我们从这些幼稚的思维和策略中能不能发现那一点儿“亮光”。

启示三：我以这次高考的其中一道题目：“生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（  ）”，分别考察一名四年级小学生和一名刚经历了高考的高中学生，反馈出来的情况是这样的：这位刚经历了高考的学生很快的就用一个公式把它列式算正确了，而这名四年级小学生用“原始”列举的方法很有序的把所有情况一一列举正确了。但当我追问这名刚经历了高考的高中学生，请他也像这名小学生一样把所有情况一一列举出来时，竟然杂乱无章出错了，真所谓“知其然不知其所以然”啊！虽然都正确了，到底谁的思考更深刻呢？

现把这次的高考题目附后，先分析这道题同小学数学有什么联系，并附上这群小学生部分幼稚的解答方法，以期与全国各地同仁探讨。

小学生挑战2019年高考数学题

1、【高考卷原题】(理科数学 全国I卷)

【高考参考答案】 B

【小学数学表述】

古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比的比值约是0.618（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比的比值也约是0.618。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是：

【试题分析】

    这道题看上去涉及到根式运算，以为小学生无法做。如果把这道题的表述方式改成小学生能理解的形式，其实是一道“比和比例”的题目，小学生可运用小学数学“比和比例”知识解答，适合六年级学生挑战。原题是选择题，学生可以碰运气选择，现要求小学生列式计算，应该说比原题要求高。

【小学生的解答】

   学生甲： 26÷0.618≈42（cm）  42+26+105=173(cm) ≈175（cm）（解答：六年级，眉师附小肖钰尔）

   学生乙： 26÷0.618≈42（cm）  42+26=68(cm)

            68÷0.618≈110（cm） 110+68=178(cm) ≈175（cm）

备注：学生乙没用题中信息“腿长为105cm”。

2、【高考卷原题】(理科数学 全国I卷)

【高考参考答案】 A

【小学数学表述】

我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“____”和阴爻“- -”，如图就是一重卦。请问：只有3个阳爻的重卦个数是所有重卦个数的几分之几？

【试题分析】

本题可运用小学数学中分数知识，可采用列举的方法解答，适合四年级以上学生挑战。由于四年级学生还没学习过分数的化简，答案可以是同5/16相等的分数。

【小学生的解答】

    学生自己解读方法：阳爻“____”是一根线，想成“1”；阴爻“- -”是两根线，想成“2”，然后有序列举。（草稿：六年级，彭山一小余奕芃）

3、【高考卷原题】(理科数学 全国II卷)

【高考参考答案】0.98

【小学数学表述】

我国高铁发展迅速，技术先进，经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为97%，有20个车次的正点率为98%，有10个车次的正点率为99%，则经停该站的高铁列车所有车次的平均正点率是多少？

【试题分析】

 本题运用小学数学百分数知识以及统计知识中求加权平均数，适合六年级学生挑战。答案可以按小学数学知识表示为百分数。

【小学生的解答】

     20×98%=98/5  10×97%=97/10   10×99%=99/10

     （98/5+97/10+99/10）÷（20+10+10）=0.98=98%

4、【高考卷原题】(理科数学 全国III卷)

【高考参考答案】 4

【小学数学表述】

有一等差数列，首项是一个不为0的数，且第二项数是首项数的3倍。请问：这个数列前10项之和是前5项之和的多少倍？

【试题分析】

这道题改成小学数学表述后，只要运用小学数学中数列知识，利用假设具体的数，再采用列举法，连三年级的学生都能挑战。

【小学生的解答】

学生自己解读方法：假设第一个数是“1”，第二个数就该是“3”，发现相邻两个数依次增加（公差）“2”。这个等差数列前10个数依次是：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100    1+3+5+7+9=25   100÷25=4

5、【高考卷原题】(理科数学 全国III卷)

【高考参考答案】C

【小学数学表述】

《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著。某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数的比值估计是多少？

【试题分析】

 本题运用小学数学“重叠问题”知识解答，适合四年级以上学生挑战。答案可以按小学数学知识表示为分数。

【小学生的解答】

       只《西》：90-80=10（位） 

《西》占总：（10+60）÷100=7/10

6、【高考卷原题】(理科数学 北京卷)

【高考参考答案】130,15

【小学数学表述】这道题小学生能看懂，不用再改成小学数学表述。

【试题分析】

本题运用小学数学“简易方程”和“百分数”知识解答，适合六年级学生挑战。

【小学生的解答】

      ⑴60+80-10=130（元）

     ⑵设买2盒草莓。 （60×2-x）×80%=60×2×70%     x=15

7、【高考卷原题】(数学 江苏卷)

【高考参考答案】7/10

【小学数学表述】

从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的情况占所有可能选取情况的几分之几？

【试题分析】

这道是概率题，但也能运用小学数学分数知识，采用列举的方法解答，适合四年级以上学生挑战。

【小学生的解答】

学生自己解读方法：3名男同学分别编号为A、B、C，2名女同学分别编号为甲、乙。

列举所有选取情况为：AB、AC、BC；甲乙；A甲、A乙、B甲、B乙、C甲、C乙，共10种选取情况。

其中，至少有1名女同学的情况是：甲乙；A甲、A乙、B甲、B乙、C甲、C乙，共7种。

所以，答案是7/10。

8、【高考卷原题】(文科数学 全国I卷)

【高考参考答案】 C

【试题分析】

本题运用小学数学“简单数列”知识，采用验证答案的策略解答，适合四年级以上学生挑战。

【小学生的解答】

1000÷100=10

 （616-46）÷10=57      616√

（46-8）÷10=3……8     ×

 （200-46）÷10=15……4  ×

（815-46）÷10=76……9  ×

答案：616号。

9、【高考卷原题】(文科数学 全国II卷)

【高考参考答案】 B

【小学数学表述】

生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则正好有2只测量过该指标的情况占所有可能选取情况的几分之几？

【试题分析】

这道概率题可运用小学数学中分数知识，采用列举的方法解答，适合四年级以上学生挑战。由于四年级学生还没学习过分数的化简，答案可以是6/10。

【小学生的解答】

学生自己解读方法：测量过某项指标的3只兔子分别编号为A、B、C，未测量过某项指标的2只分别编号为“1”“2”。

列举所有选取情况为：ABC、AB1、AB2、AC1、AC2、A12、BC1、BC2、B12、C12，共10种选取情况。

其中，恰有2只测量过该指标的情况是：AB1、AB2、AC1、AC2、BC1、BC2，共6种。

所以，答案是6÷10=3/5。

10、【高考卷原题】(文科数学 全国II卷)

【高考参考答案】 A

【试题分析】

 本题运用小学数学简单推理知识，采用假设推断的方法解答，适合三年级以上学生挑战。

【小学生的解答】（草稿：六年级，彭山一小余奕芃）

甲说：   甲＞乙 ；   乙说：   丙＞甲乙；    丙说：  丙＞乙

设甲对，则：甲＞乙＞丙，√（不矛盾）；

设乙对，则：丙＞乙，×（矛盾）；

设丙对，则：丙＞甲乙，×（矛盾）。

11、【高考卷原题】(文科数学 全国III卷)

【高考参考答案】 D

【小学数学表述】

两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的情况占所有排队情况的几分之几？

【试题分析】

这道简单概率题，题意清楚，可运用小学数学分数知识，采用列举的方法解答，适合四年级以上学生挑战。由于四年级学生还没学习过分数的化简，答案可以是12/24。

【小学生的解答】

学生自己解读方法：两位男同学分别编号为A、B，两位女同学分别编号为“1”、“2”。（草稿：六年级，彭山一小余奕芃）

列举为：

A左B右占位情况： AB12、AB21、A1B2；A2B1、1AB2、2AB1；A12B、A21B、1A2B；2A1B、21AB、12AB，共12种。其中两位女同学相邻的情况：AB12、AB21； A12B、A21B；21AB、12AB，共6种。

   同理，B左A右占位情况: 也是共12种。其中两位女同学相邻的情况：也是共6种。

   12×2=24（种）  6×2=12（种）  12/24=1/2

12、【高考卷原题】(文科数学 全国III卷)

【高考参考答案】100

【小学数学表述】

有一等差数列，第三项是5，第七项是13。请问：这个数列前10项之和是多少？

【试题分析】

本题运用小学数学数列知识来解答，适合三年级以上学生挑战。

【小学生的解答】

学生自己解读方法：因为13-5=8,所以等差数列依次增加（公差）：8÷4=2，可以推断出这列数前10个数依次是：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100